[TOÁN 6] ĐỀ SỐ 1

Bài 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số $abc$, biết rằng: $b^2 = ac$ và $\overline{abc} – \overline{cba} = 495$.

Bài 2:
a) Tính nhanh:$$\frac{1978.1979 + 1980.21 + 1958}{1980.1979 – 1978.1979}$$

b) Rút gọn:$$\frac{5^2.6^{11}.16^2 + 6^2.12^6.15^2}{2.6^{12}.10^4 – 81^2.960^3}$$

Bài 3: Tìm số tự nhiên $n$ để phân số$$\frac{6n + 99}{3n + 4}$$

a) Có giá trị là số tự nhiên.
b) Là phân số tối giản.

Bài 4: Cho$$A = \frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \frac{3}{5^4} + … + \frac{n}{5^{n+1}} + … + \frac{11}{5^{12}}$$

với $n \in N$. Chứng minh rằng $A < \frac{1}{16}$​.

Bài 5: Trên đường thẳng $xx’$ lấy một điểm $O$. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $xx’$ vẽ 3 tia $Oy, Ot, Oz$ sao cho: Góc $x’Oy = 40^\circ$; $xOt = 97^\circ$; $xOz = 54^\circ$.

a) Chứng minh tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Oy$ và $Oz$.
b) Chứng minh tia $Ot$ là tia phân giác của góc $zOy$.

HƯỚNG DẪN

Bài 1: Ta có:$$\overline{abc} – \overline{cba} = (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)$$$$= 100a + 10b + c – 100c – 10b – a$$$$= 99a – 99c = 99(a – c) = 495$$$$\Rightarrow a – c = 495 : 99 = 5$$

Vì $b^2 = ac$ và $0 \le b \le 9$ mà $a – c = 5$. Nên ta có:

Với $a = 9$: $c = 4$ và $b^2 = 9.4 = 36$; $b = 6$ (Nhận)

Với $a = 8$: $c = 3$ và $b^2 = 8.3 = 24$; không có giá trị nào của $b$.

Với $a = 7$: $c = 2$ và $b^2 = 7.2 = 14$; không có giá trị nào của $b$.

Với $a = 6$: $c = 1$ và $b^2 = 6.1 = 6$; không có giá trị nào của $b$.

Bài 2:

a)$$\frac{1978.1979 + 1980.21 + 1958}{1980.1979 – 1978.1979} = \frac{1978.1979 + 1979.21 + 21 + 1958}{1979.(1980 – 1978)}$$$$= \frac{1979.(1978 + 21) + 21 + 1958}{1979.2} = \frac{1979.(1978 + 21 + 1)}{1979.2}$$$$= \frac{1979.2000}{1979.2} = 1000$$b)$$\frac{5^2.6^{11}.16^2 + 6^2.12^6.15^2}{2.6^{12}.10^4 – 81^2.960^3} = \frac{5^2.(2.3)^{11}.(2^4)^2 + (2.3)^2.(2^2.3)^6.(3.5)^2}{2.(2.3)^{12}.(2.5)^4 – (3^4)^2.(2^6.3.5)^3}$$$$= \frac{5^2.2^{19}.3^{11} + 2^{14}.3^{10}.5^3}{2^{17}.5^4.3^{12} – 3^{11}.2^{18}.5^3}$$$$= \frac{5^2.3^{10}.2^{14}(2^5.3 + 5)}{2^{17}.5^3.3^{11}(5.3 – 2)}$$$$= \frac{2^5.3 + 5}{2^3.5.3.12}$$$$= \frac{32.3 + 5}{8.15.12} = \frac{96 + 5}{120.12} = \frac{101}{1440}$$

Bài 3: Đặt$$A = \frac{6n + 99}{3n + 4} = \frac{6n + 8 + 91}{3n + 4} = \frac{2(3n + 4) + 91}{3n + 4}$$$$= 2 + \frac{91}{3n + 4}$$

a) Để $A$ là số tự nhiên thì $91 : (3n + 4)$.
$3n + 4$ là ước của $91$ hay $3n + 4 \in \{1; 7; 13; 91\}$.

Với $3n + 4 = 1$→ $n = -1$ (Loại).

Với $3n + 4 = 7$ → $n = 1$ (Nhận) → $A = 2 + 13 = 15$.

Với $3n + 4 = 13$ → $n = 3$ (Nhận) → $A = 2 + 7 = 9$.

Với $3n + 4 = 91$ → $n = 29$ (Nhận) → $A = 2 + 1 = 3$.

b) Để $A$ là phân số tối giản thì $91$ không chia hết $3n + 4$.

Suy ra $3n + 4$ không chia hết cho ước nguyên tố của $91$.

$3n + 4$ không chia hết cho $7$ ⇒ $n \ne 7k + 1$.

$3n + 4$ không chia hết cho $13$ ⇒ $n \ne 13m + 3$.

Bài 4:

Xét$$5A = \frac{1}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} + … + \frac{n}{5^n} + … + \frac{11}{5^{11}}$$

Suy ra:$$4A = 5A – A$$$$= \left(\frac{1}{5} + \frac{2}{5^2} + \frac{3}{5^3} + … + \frac{n}{5^n} + … + \frac{11}{5^{11}}\right) – \left(\frac{1}{5^2} + \frac{2}{5^3} + \frac{3}{5^4} + … + \frac{n}{5^{n+1}} + … + \frac{11}{5^{12}}\right)$$$$4A = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + … + \frac{1}{5^{11}} – \frac{11}{5^{12}}$$

Đặt$$B = \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{5^3} + … + \frac{1}{5^{11}}$$$$5B = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + … + \frac{1}{5^{10}}$$$$4B = 1 – \frac{1}{5^{11}}$$$$B = \frac{5^{11} – 1}{4.5^{11}}$$$$4A = B – \frac{11}{5^{12}}$$$$= \frac{5^{11} – 1}{4.5^{11}} – \frac{11}{5^{12}} = \frac{5^{12} – 5 – 44}{4.5^{12}}$$$$A = \frac{1}{16}\left(1 – \frac{49}{5^{12}}\right) < \frac{1}{16}$$

Bài 5:

a) Theo đề bài ta có góc $x’Ox = 180^\circ$.
Góc $x’Oy$ và $yOx$ kề bù.$$x’Oy = 40^\circ \Rightarrow yOx = 180^\circ – 40^\circ = 140^\circ$$

Ta có:$$xOz < xOt < xOy$$

⇒ tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Oz$ và $Oy$.

b) Theo câu a ta có tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Oz$ và $Oy$$$\Rightarrow zOt + tOy = zOy$$$$xOt + tOy = xOy$$$$tOy = 43^\circ$$$$zOt = 43^\circ$$

Suy ra:$$tOy = zOt$$

Vậy tia $Ot$ là tia phân giác của góc $zOy$.